Introducere în geometria non-euclidiană


Autor: prof. Raluca Maria Caraion
Colegiul Tehnic „Ștefan Bănulescu”, Călărași

“Let no one ignorant of geometry enter this door.“
(La intrarea în Academia lui Platon)
Lucrarea de faţă reprezintă o privire asupra unei ramuri din geometria non-euclidiană, geometria Lorentz, cu aplicaţie pe partea de trigonometrie Lorentz şi topologie în spaţii Lorentz, mai precis teorema Gauss – Bonnet.
Acest studiu are un plus datorat atenţiei, sprijinului necondiţionat şi bunăvoinţei domnului profesor universitar doctor Wladimir – Georges Boskoff, Decanul Facultăţii de Matematică şi Informatic, Universitatea „Ovidius” Constanţa; mă simt onorată că am avut privilegiul de a avea ca mentor una dintre personalităţile geometriei româneşti.
Am ales o temă referitoare la geometria non-euclidiană, deoarece este un domeniu fascinant al matematicii pe care nu toată lumea îl cunoaşte . Geometria non-euclidiană a luat naştere datorită faptului că postulatul paralelismului lui Euclid nu a putut fi demonstrat; astfel, matematicienii au introdus o geometrie care nu foloseşte postulatul paralelismului. Bazele geometriei non-eucildiene au fost puse de Janos Bolyai (spunea: „Out of nothing I created a strange new universe”) şi de “prinţul matematicii” Carl Friedrich Gauss; ulterior, au participat la construirea acestei noi geometrii şi Nikolai Lobacevski, Georg Bernhard Riemann, Hendrik Lorentz şi alţii.
Gauss s-a arătat interesat de existenţa unei geometrii non-euclidiene, el discutând lucrul acesta cu Farkas Bolyai. Când fiul lui Farkas Bolyai, János, descoperă geometria non-euclidiană în 1829, Gauss îi scrie lui Farkas Bolyai: „A-i lăuda munca ar însemna să mă laud pe mine, deoarece conţinutul lucrării…coincide aproape cu meditaţiile mele, gânduri care mi-au ocupat mintea în ultimii 35 de ani“.

Geometria non-euclidiană s-a dezvoltat pe două ramuri:
geometria eliptică
geometria hiperbolică
Lucrarea este structurată în trei părţi: primele două părţi sunt cu specificaţii geometrice şi algebrice asupra geometriei Lorentz, iar partea a treia cu specificaţii topologice.
Prima parte a lucrarii, “Trigonometria în spaţii Lorentz pentru vectorii temporali“, prezintă primele concepte introductive ale geometriei Lorentz; ilustrează atât grafic, cât şi sub formă de expresii vectorii temporali, spaţiali şi nuli, vectori cu care lucrează geometria Lorentz; grupul Lorentz are o importanţă deosebită şi este definit şi comparat cu grupul G din geometria euclidiană. (fragment)