Studiu asupra proprietăților poligoanelor concave


Autor: prof. Petrescu Alexandru
Liceul Tehnologic Constantin Brâncuși, Pitești

Scopul acestui articol este studiul proprietăţilor poligoanelor concave având numai unghiuri de 90o şi 2700. Ideea scrierii articolului a provenit încercând să rezolv o problemă dată la concursul Adolf Haimovici din 2012, etapa judeţeană – clasa a IX – a.
„Zidul unei cetăţi reprezintă o linie poligonală închisă(vezi figura alăturată). Fiecare două segmente vecine ale acestei linii poligonale formează un unghi drept. Într-o noapte, un paraşutist a aterizat lângă zidul cetăţii. Acesta nu ştie dacă este în interiorul sau în exteriorul cetăţii. Ocoleşte zidul cetăţii şi numără câte cotituri face la stânga şi câte la dreapta într-un tur complet.


a) Câte cotituri face paraşutistul la dreapta şi câte la stânga, dacă ocoleşte zidul astfel încât acesta să rămână mereu în dreapta sa, în ambele cazuri (ocolire interioară sau ocolire exterioară)?
b) Cum deduce paraşutistul dacă a aterizat în interiorul sau exteriorul cetăţii? ”
Pentru rezolvarea problemei am dedus şi folosit următoarele proprietăţi ale poligoanelor concave:
Proprietatea 1: Orice poligon concav [A1A2A3 … An] cu n laturi are suma unghiurilor interioare:
Sint = (n-2)·180o şi suma unghiurilor exterioare Sext = (n+2)·180o.

Se împarte poligonul concav în triunghiuri având ca laturi, laturile şi diagonalele poligonului în următorul mod:

-Două triunghiuri au ca laturi două din laturile poligonului şi a treia o diagonal: ∆An-1AnA1 respectiv ∆Ak-1AkAk+1 (s-au folosit patru laturi din cele n ale poligonului)
-(n-4) triunghiuri au ca laturi două din diagonalele poligonului şi a treia, o latură a poligonului.
Se formează (n-4)+2 = n-2 triunghiuri având suma unghiurilor egală cu suma unghiurilor interioare ale poligonului, deci:
Sint = (n-2)·180o
Sext = (360o-A1) + (360o-A1) + … + (360o-A1) = 360on – Sint = 360on – 180on + 360o=
= 180on + 360o = (n+2) · 180o (fragment)