Metode de demonstrare a teoremelor


Autor: prof. Păun Meda Elena
Liceul Teoretic Bechet

Teorema reprezintă o afirmație al cărei adevăr se stabilește prin demonstrație. Fiecare ramură a matematicii este constituită dintr-un șir de teoreme, demonstrația fiecăreia dintre ele sprijinindu-se pe teorema care o precedă. Dacă o teoremă se exprimă sub forma:
(p implică q) sau (dacă p , atunci q),
atunci propoziția p se va numi premisă sau (ipoteză), iar propoziția q se va numi concluzie.
Teorema reciprocă (latină „reciprocus” cu sensul de „care inversează”) (a unei teoreme) este teorema a cărei ipoteză este concluzia teoremei date și a cărei concluzie este ipoteza teoremei date. În comparație cu termenul de teoremă reciprocă, teorema inițială este denumită teorema directă. Teorema reciprocă a unei teoreme poate fi adevărată sau falsă. Dacă reciproca este adevărată, teorema și reciproca ei pot fi definite printr-un singur enunț.
De exemplu, ținând cont de teorema ,, Unghiurile opuse la vârf sunt congruente’’ și de faptul că propoziția reciprocă nu este adevărată, concluzionăm că proprietatea de congruență a unghiurilor este o condiție necesară, dar nu și suficientă pentru ca acestea să fie opuse la vârf. Astfel, pentru a verifica necesitatea unei condiții se demonstrează teorema directă, iar pentru stabilirea suficienței acesteia se formulează teorema reciprocă.
Metoda reducerii la absurd este o metodă specifică de demonstrație în matematică. La baza acestei metode stă una din legile fundamentale ale logicii clasice: legea terțului exclus, ce are următorul enunț: din două propoziții contradictorii una este adevărată, cealaltă falsă, iar a treia posibilitate nu există. Legea terțului exclus nu ne precizează care din cele două propoziții este adevărată și care este falsă. Când la două propoziții contradictorii aplicăm legea terțului exclus este suficient să stabilim că una dintre ele este falsă pentru a deduce că cealaltă este adevărată.
Metoda reducerii la absurd constă în a admite în mod provizoriu, ca adevărată propoziția contradictorie propoziției de demonstrat, apoi pe baza acestei presupuneri se deduc o serie de consecințe care duc la un rezultat absurd, deoarece ele contrazic sau ipoteza problemei date sau un adevăr stabilit mai înainte. Mai departe raționăm astfel: dacă presupunerea ar fi fost adevărată, atunci în urma raționamentelor logic corecte ar fi trebuit să ajungem la o concluzie adevărată , deoarece am ajuns la o concluzie falsă , înseamnă că presupunerea noastră a fost falsă.

Aceasta duce la concluzia că presupunerea făcută nu este posibilă și rămâne ca adevărată concluzia propoziției date. Metoda reducerii la absurd nu se reduce la propoziția că „a demonstra o propoziție este același lucru cu a demonstra contrara reciprocei ei”, deoarece pot apărea și situații în care nu se contrazice ipoteza ci o altă propoziție (un rezultat cunoscut, o axiomă, o teoremă ). Metoda reducerii la absurd se folosește atât în rezolvarea problemelor de calcul (de aflat) cât și la rezolvarea problemelor de „demonstrat”. Metoda este des utilizată în demonstrarea teoremelor reciproce, precum și în demonstrarea teoremelor de unicitate.