Utilizarea derivatelor pentru maximizarea profitului


Autor: prof. Bucurenciu Simona
Liceul Tehnologic „Ghoerghe Miron Costin”, Constanța 

Activitatea de producție poate fi privită ca un ansamblu de operații cu sopul maximizării profitului firmei respective. Întreprinzătorul, prin flerul său și cu ajutorul calculelor economice va face alegeri la care se așteaptă la cea mai mare eficiență, cea mai mare productivitate. Calculele economice au la bază noțiuni matematice, ce transformă noțiuni de genul muncă sau capital în simboluri și funcții matematice simple.

Productivitatea marginală a fiecărui factor de producție reprezintă sporul de producție care se obține prin utilizarea unei unități suplimentare din factorul de producție respectiv. De exemplu, productivitatea marginală a factorului muncă reprezintă cu cât crește producția dacă este angajată încă o persoană în procesul de producție. Din punct de vedere matematic, productivitatea marginală a unui factor de producție este chiar derivata parțială de ordin întâi a funcției de producție în raport cu factorul considerat.

Notăm cu L factorul de producție muncă, în sensul de ansamblu de abilități fizice și intelectuale care fac posibilă prestarea unui anumit proces. Notăm cu K factorul de producție capital, reprezentând o categorie de bunuri produse și utilizate pentru a produce alte bunuri. Producția, notată cu Q, depinde de factorii de producție muncă și capital. Matematic scriem: Q=f (L,K). Productivitățile marginale ale fiecărui factor se scriu:

Reprezentând grafic Q, în funcție de cantitatea utilizată din cei doi factori de producție L și K, se obține suprafața de producție. Din punct de vedere economic este interesant de studiat doar porțiunea descrescătoare a curbelor, aceasta reprezentând cele mai eficiente combinații de utilizare a factorilor de producție. Producătorul deține un buget T care va fi utilizat pe factorii L și K. Dacă  P l reprezintă prețul muncii, iar  P k reprezintă prețul capitalului, atunci bugetul se va scrie

Din punct de vedere geometric, aceasta reprezintă graficul unei drepte, în funcție de L și K. Orice punct al dreptei reprezintă o cheltuială egală (a întregului buget), dar cu o repartizare diferită între L și K.

Vom realiza atât curbele Q cât și dreapta bugetului pe același grafic. Întreprinzătorul își dorește să producă cât mai mult la un cost de producție fix, adică cu un buget determinat, aceasta fiind situația optimă. Acest optim se atinge când dreapta bugetului este tangentă uneia din curbele producției (vezi figura), acesta fiind puctul de echilibru E. Să demonstrăm acest lucru folosind analiza matematică. Avem ipoteza: producția Q ca funcție de L și K și bugetul T. Producția trebuie maximizată, folosind minimul factorilor de producție, deci derivata în punctul E, punctul de extrem, va fi nulă. Bugetul este constant, deci și derivata acestuia va fi nulă. (fragment)